デジタルフィルタのインパルス応答

Index

• 概要
  • きっかけ
  • インパルス生成のプログラム
• いろんなフィルタのインパルス応答
  • RCフィルタ（指数平滑フィルタ）
  • 移動平均
  • 平均の個数を増やしてみる
  • 微分回路
  • 積分回路
  • 多段積分回路
  • SINCフィルタ
  • ダウンサンプラ
  • アップサンプラ
  • CICフィルタ（SINC3デシメータ）
• まとめ

概要

• プログラムでデジタルフィルタでは、Unixのフィルタとして作ったデジタルフィルタの特性を
• 擬似ホワイトノイズを使って調べたけれど、同じフィルタプログラムをインパルス応答で改めて確認してみました

• インパルスといっても、高さ１のデータなので、擬似インパルスと言った方が良いかもしれない。
• 実際には、インパルス応答からfftwで周波数特性を求めて比較している

• fftwでいろいろ実験で用意したツールも使っている

きっかけ

• FIRフィルタのプログラムを作ってみたので、ちゃんと動いているか確認しようと思った。
• 最初が1で、後は0が続くデータを入れれば、係数がそのまま見れるはずだ

• 数値はOK、波形も描いて見よう

% pulse 400 | firf coeff.txt | gp_wav > firf_test.png

• うん。プログラムは、ちゃんと動いているようだ

• これはインパルス応答ってやつだな。

• ん。。。あれ、そういえばインパルスって、全部の周波数含むんじゃなかったか。。。

$ pulse 1000 | fftw | gp_fft > pulse_fft.png

• プログラムでデジタルフィルタで、擬似ホワイトノイズを使ってフィルタ特性を調べていたけど、
• 単純にインパルス応答をみれば良いだけじゃないか。。

• なんで、そうしなかったんだろう。
• 擬似ホワイトノイズを作ったときも、デルタ関数作ってるみたいだと思ったのに。。

• ということで、 擬似ホワイトノイズを使って調べた特性が、
• インパルス応答では、どうなるんだろうという興味が出てきたので、この記事に纏めてみました。

• このFIRフィルタプログラムについては、別途、
• FIRフィルタでサンプルレート変換に纏めました。（170131追記）

インパルス生成のプログラム

• といっても、最初が１で、後は０が続くデータを出力するだけのプログラムなんだけど。（pulse.c）

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

//１秒分のデータを生成
#define SAMPLE (1000)

main( int argc, char *argv[] )
{
        int     s, i, m, n, g;

        s = SAMPLE;
        m = 0;
        n = 1;
        g = 1;

        if (argc>1)
          s = atoi(argv[1]);    //サンプリング周波数（デフォルト：1000Hz）
        if (argc>2)
          n = atoi(argv[2]);    //パルスの終了（デフォルト：1）
        if (argc>3)
          m = atoi(argv[3]);    //パルスの開始（デフォルト：0）

        for (i=0; i<s ;i++) {
          if (i<m)
            printf("%d\n",0);
          else if (i<n)
            printf("%d\n",g);
          else
            printf("%d\n",0);
        }
}

• 一応、パルス幅を変更できるようにしているけど、今回はその機能は使っていない

• インパルス波形は、最初に高さ１のパルスがあるだけ

% pulse 1000 | head -40 | gp_pulse > pulse_w.png

• 本来は、高さ無限大なので、やっぱり擬似インパルスなのかな
  • まぁでも、積分すれば１のはずなので、代用¹にはなりそう

いろんなフィルタのインパルス応答

• プログラムでデジタルフィルタで作成したフィルタプログラムのインパルス応答を見てみよう
• 擬似ホワイトノイズを入れた場合の特性と、インパルス応答の周波数特性をfftwで比較してみた

• インパルス応答波形は、ほとんど最初だけなので、
• 最初の部分だけ、拡大して表示している

RCフィルタ（指数平滑フィルタ）

• RCフィルタの場合²

% white 1000 | rcf 0.5 | fftw | gp_fft > rcf_fft.png
% pulse 1000 | rcf 0.5 | fftw | gp_fft > rcf_fft.png

• 縦軸のレンジを指定していないので違いがあるが、基本的に同じ特性を見られることがわかる

• インパルス応答波形も見てみる

% pulse 1000 | rcf 0.5 | head -40 | gp_pulse > rcf_w.png

• 指数的に減衰する波形になっている

移動平均

• 3個の移動平均の場合

% white 1000 | mavgf 3 | fftw | gp_fft > mavgf3_fft.png
% pulse 1000 | mavgf 3 | fftw | gp_fft > mavgf3_fft.png

• インパルス応答波形

% pulse 1000 | mavgf 3 | head -40 | gp_pulse > mavgf3_w.png

• 単純に３個取り出しているだけということが分かる

平均の個数を増やしてみる

• 8個の移動平均フィルタだけ較べてみる

% white 1000 | mavgf 8 | fftw | gp_fft > mavgf8_fft.png
% pulse 1000 | mavgf 8 | fftw | gp_fft > mavgf8_fft.png

• インパルス応答波形

% pulse 1000 | mavgf 8 | head -40 | gp_pulse > mavgf8_w.png

• 単に、８個サンプリングしているだけだ

微分回路

• 遅延16の微分回路のインパルス応答

% white 1000 | bibun 16 | fftw | gp_fft > bibun_fft.png
% pulse 1000 | bibun 16 | fftw | gp_fft > bibun_fft.png

• インパルス応答波形

% pulse 1000 | bibun 16 | head -40 | gp_pulse > bibun_w.png

• 16個目で、逆方向にインパルスがあるだけなんだけど、こんな周波数特性になるのが不思議

積分回路

• 積分回路のインパルス応答

% white 1000 | sekibun | fftw | gp_fft > sekibun_fft.png
% pulse 1000 | sekibun | fftw | gp_fft > sekibun_fft.png

• あれ、積分回路はインパルス応答がうまくとれない。。

• インパルス応答波形

% pulse 1000 | sekibun | head -40 | gp_pulse > sekibun_w.png

• インパルスは最初が１で後は全部０なので、積分回路では最初が０で後は全部１になるだけだから、
• 積分回路の特性がみれないのは、まぁ何となく分かるんだけど。。
  • うーん、何故、積分はできないのか、自分にはあまり明確な説明はできないなぁ

多段積分回路

• 16段の積分回路ならどうか

% white 1000 | sekibun 16 | fftw | gp_fft > sekibun16_fft.png
% pulse 1000 | sekibun 16 | fftw | gp_fft > sekibun16_fft.png

• 多段の場合、キレイにインパルス応答がとれてると思ったが、なんかへんなヒゲがある
  • そもそもDCは無限大にならなきゃおかしいんじゃないかな。そんな感じじゃない³。。
• 積分回路は、なんかうまく行かないなぁ。

• インパルス応答波形

% pulse 1000 | sekibun 16 | head -40 | gp_pulse > sekibun16_w.png

• 思いのほか、単純だ。。

SINCフィルタ

• SINCフィルタ、微分→積分の場合のインパルス応答を見てみる
• まぁ、これは移動平均と全く同じ特性なんだけど

% white 1000 | bibun 16 | sekibun | fftw | gp_fft > sinc_fft2.png
% pulse 1000 | bibun 16 | sekibun | fftw | gp_fft > sinc_fft2.png

• SINCフィルタ、積分→微分の場合のインパルス応答を見てみる

% white 1000 | sekibun | bibun 16 | fftw | gp_fft > sinc_fft.png
% pulse 1000 | sekibun | bibun 16 | fftw | gp_fft > sinc_fft.png

• 積分が先だとダメかと思ったが、両方ともちゃんとインパルス応答を見ることが出来る
• 単体の積分回路だとインパルス応答みれないのに、組み合わせると見れるのは何故なんだろう

• インパルス応答波形

% pulse 1000 | bibun 16 | sekibun | head -40 | gp_pulse > sinc_w2.png
% pulse 1000 | sekibun | bibun 16 | head -40 | gp_pulse > sinc_w.png

• 微分→積分、積分→微分、いずれも16個取り出しているだけの波形

ダウンサンプラ

• 擬似ホワイトノイズの場合は、10〜40Hzのみ出力出来るが、
• インパルスの場合は、全周波数を入れるしかない

  % white 1000 40 10 | downs 10 | fftw | gp_fftl > downs_fftl.png
  % pulse 1000 | downs 10 | fftw | gp_fftl > downs_fftl.png
  

• 擬似ホワイトノイズの場合は、帯域制限できるので、ダウンサンプラの動作が分かるが、
• インパルスの場合は、変化が無いので動作がサッパリわからない
  • というか、エイリアシングによる乱れとかも全くないので、ある意味凄いけど

• インパルス応答波形

% pulse 1000 | downs 10 | head -40 | gp_pulse > downs_w.png

• インパルス応答波形をみると、入力と変わらないので当然か。

アップサンプラ

• 擬似ホワイトノイズの場合は、10〜100Hzのみ出力が可能、
• インパルスの場合は、やはり全周波数を入れるしかない

  % white 1000 100 10 | ups 10 | fftw | gp_fftl > ups2_fftl.png
  % pulse 1000 | ups 10 | fftw | gp_fftl > ups2_fftl.png
  

• 擬似ホワイトノイズの場合は、帯域制限しているので、アップサンプラの動作が分かるが、
• インパルスの場合は、変化が無いのでどんな動作なのか、全然わからない

• インパルス応答波形

% pulse 1000 | ups 10 | head -40 | gp_pulse > ups2_w.png

• アップサンプラ通しても、入力と変わらない

CICフィルタ（SINC3デシメータ）

• ついでに、 CICフィルタの特性を調べた時、最後に、
• SINC3デシメータに、帯域制限なしの擬似ホワイトノイズを入れてみたので、その結果とも比較してみる

  % white 3840 | imul 100 | intg | intg | intg | idws | comb 1 | comb 1 | comb 1 | fftw | gp_fftl > wiiidccc.png
  % pulse 3840 | imul 100 | intg | intg | intg | idws | comb 1 | comb 1 | comb 1 | fftw | gp_fftl > wiiidccc.png
  

• インパルス応答は非常にキレイに見えるが、実際はエイリアシングで干渉しているはずなので、
• 擬似ホワイトノイズの方が、干渉しているのが分かり易いような気がする

• インパルス応答波形

% pulse 3840 | imul 100 | intg | intg | intg | idws | comb 1 | comb 1 | comb 1 | head -40 | gp_pulse > wiiidccc_w.png

• インパルス応答波形は、最初に２本のパルスがあるだけ。
  • でも、シンプル過ぎて、不思議

まとめ

• フィルタプログラムは、以前作ったものを使ったので、
• インパルス応答を調べるだけで、そんなに手間は掛からなかった

• それにしても、擬似ホワイトノイズを入力した場合と、インパルスを入力した場合の応答波形は全く異なるのに、
• FFTによる周波数特性としては、ほぼ同じものになるのは、とても面白くて不思議だ。

• 基本的には、単純なインパルス応答でもフィルタ特性をみられることが確認できた。
• 擬似ホワイトノイズよりも、波形が非常にキレイにとれるみたいだし、
• 何より生成に時間が掛からないのがメリットだ

• でも、積分回路のようにインパルス応答では、うまく特性がとれない場合があるようだ。
• もしかすると、インパルスの大きさが１で、無限大じゃないからかもしれない
• いずれにしても、Gain的には正確じゃないのかも

• あと、アップサンプリング、ダウンサンプリングのように、帯域制限しないと動作がみれないものは
• 擬似ホワイトノイズじゃないと、特性が全然わからない。

• 基本的にはインパルス応答で特性をみれば良さそうだ。
• でも、擬似ホワイトノイズは帯域制限できる利点もあるので、用途に合わせて使い分けすれば良いと思う。